Apa masalah merancang beli oleh oleh khas surabaya online sambil sebuah drop-off rute yang efisien bagi individu yang telah memutuskan pada kelompok naik taksi pulang dari bandara dan pembuatan chip komputer memiliki kesamaan? Jawabannya adalah bahwa kedua masalah dapat dirumuskan dalam hal masalah matematika yang dikenal sebagai Traveling Salesman Problem (TSP). (Saat ini, tentu saja, penjual keliling mungkin akan pramuniaga perjalanan, tapi saya akan menggunakan nama tradisional masalah ini.) Ungkapan "perjalanan salesman" benar memunculkan citra salesman, mulai keluar dari rumahnya (atau tempat bisnis), membuat berkeliling ditunjuk untuk memamerkan barang dia menjual, dan kemudian kembali ke titik awal nya. Tujuan dari salesman dan majikannya mungkin berbeda. Salesman, yang harus melakukan perjalanan dengan mobil, mungkin ingin rute dirinya melalui kampung sepupu kesayangannya dan mungkin mengambil barang antik menunjukkan di jalan, sementara majikan mungkin ingin memiliki salesman yang mengikuti rute termurah mungkin.
Ternyata masalah salesman keliling tidak hanya masalah diterapkan penting dengan banyak varian yang menarik; juga memiliki hubungan penting untuk matematika teoritis dan ilmu komputer.
Sejarah dan Dasar Situs
Seperti banyak pertanyaan sejarah, itu adalah kompleks untuk dijabarkan persis di mana TSP sebagai masalah matematika berasal. Ada referensi untuk itu sebagai masalah praktis dalam buku Jerman dari 1832. Beberapa orang kredit Karl Menger dengan mempopulerkan masalah kepada masyarakat matematika Eropa di tahun 1920-an. Merrill Banjir, yang belajar di Princeton, juga mempopulerkan masalah dan membawanya ke perhatian komunitas riset matematika dan operasi (di AS). Ia menunjukkan bahwa ia mendengar tentang masalah dari AW Tucker pada tahun 1937.
Banjir mengklaim bahwa Tucker telah diberitahu tentang masalah oleh Hassler Whitney, tapi ketika Tucker ditanya tentang hal ini ia tidak dapat mengkonfirmasi atau menyangkal hal itu - ia tidak lagi ingat!
Hassler Whitney
Whitney juga tidak ingat telah dibahas masalah dengan Tucker (bawah).
Foto A. W. Tucker
(Courtesy of Alan Tucker, anak A. W. Tucker)
Dalam hal apapun Banjir (yang namanya juga dikaitkan dengan teori permainan) mendorong studi masalah dengan Rand Corporation. Dari hari-hari awal Rand secara aktif terlibat dalam pekerjaan di riset operasi dan, seperti yang akan kita lihat di bawah, ada banyak masalah riset operasi yang mengambil bentuk TSP.
Bahkan sebelum matematikawan memandang masalah ini ada analitis salesman berpikiran dan majikan mereka yang berpikir tentang hal itu. Mari kita lihat contoh yang sangat sederhana. Misalkan diagram di bawah ini menunjukkan jarak jalan antara tiga kota yang Hilda, yang menjual perangkat lunak untuk sekolah tinggi, harus melakukan perjalanan (mulai dari rumah). Angka-angka di dekat segmen garis (tepi) dalam diagram adalah mengemudi jarak antara lokasi.
4 kota TSP grafik
Gambar 1 (A 4-kota masalah TSP)
Apa yang kita miliki di atas adalah diagram yang terdiri dari titik-titik dan garis yang dikenal sebagai grafik. Ini adalah jenis khusus dari grafik yang dikenal sebagai graf lengkap karena setiap simpul bergabung dengan setiap orang lain. Selain itu, kami telah ditugaskan untuk setiap tepi grafik lengkap berat, yang bisa menjadi waktu, jarak jalan, biaya tiket kereta api atau pesawat, dll untuk perjalanan antara dua lokasi di titik akhir dari tepi. Biasanya bobot ini diambil sebagai angka non-negatif (tapi menarik untuk mempertimbangkan apa interpretasi mungkin memakai menggunakan bobot negatif) yang mematuhi ketidaksetaraan segitiga. Ini berarti bahwa diberikan tiga lokasi X, Y, dan Z jumlah dari bobot untuk setiap pasangan tiga tepi lokasi menentukan setidaknya sama besar dengan berat di tepi ketiga. (Untuk fungsi jarak, memuaskan ketidaksamaan segitiga merupakan bagian dari definisi biasa, seperti persyaratan bahwa jarak dari A ke B sama dengan jarak dari B ke A.) Dalam contoh kita, kita mengasumsikan bahwa kita memiliki sebuah TSP simetris - biaya untuk pergi dari X ke Y adalah sama dengan biaya untuk pergi dari Y ke X - tetapi banyak aplikasi menarik keadaan yang TSP asimetris di mana biaya pergi dari X ke Y mungkin tidak sama sebagai biaya untuk pergi dari Y ke X.
Tujuan dalam memecahkan TSP adalah untuk menemukan tur biaya minimum, tur yang optimal. Sebuah tur simpul dari grafik yang mengunjungi setiap sudut (mengulangi ada tepi) sekali dan hanya sekali dikenal sebagai sirkuit Hamilton. Dengan demikian, seseorang dapat memikirkan memecahkan TSP sebagai menemukan sirkuit Hamilton biaya minimum dalam graf lengkap dengan bobot di tepi.
Bahkan tidak mungkin terjadi untuk beberapa orang bahwa urutan di mana kita mengunjungi berbagai kota wilayah membuat perbedaan, tetapi salah satu cara untuk melihat hal ini adalah untuk menentukan semua wisata yang berbeda yang satu dapat memilih. Pertama, perhatikan satu penyederhanaan. Jika salah satu mengunjungi kota-kota wilayah dalam urutan: Home, A, B, C, Home, maka ini akan dianggap sama dengan tur di mana kita mengunjungi kota-kota wilayah dalam urutan terbalik: Home, C, B, A, Rumah . Kami akan mempertimbangkan pasangan seperti tur yang "sama," meskipun mungkin ada pro dan kontra dari berbagai jenis dalam memilih antara dua wisata. Dalam hal total biaya, wisata menghasilkan jawaban yang sama.
Dalam situasi yang ditunjukkan pada Gambar 1, berapa banyak TSP wisata yang ada? Karena dari rumah satu dapat mengunjungi salah satu dari tiga pilihan, dan dari sana kita dapat mengunjungi salah satu dari dua kota, dll, dan menggunakan prinsip dasar penghitungan (yang memberitahu kita untuk memperbanyak jumlah cara yang satu dapat melakukan tugas masing-masing komponen dalam masalah penghitungan), kami menemukan bahwa ada 3! = 3 x 2 x 1 = 6 rute, yang dibagi 2 (untuk alasan yang dijelaskan di atas) memberikan 3 rute yang berbeda. Untuk grafik lengkap umum dengan n simpul, jumlah rute TSP yang berbeda akan menjadi:
persamaan untuk jumlah TSP wisata
Kembali ke masalah pada Gambar 1 dan enumerasi TSP 3 tur kita dapat memilih yang termurah:
HABCH yang biaya 80 + 140 + 90 + 50 = 360
HACBH yang biaya 80 + 100 + 90 + 69 = 339
HCABH yang biaya 50 + 100 + 140 + 69 = 359.
Jadi, pergi dari rumah ke C, kemudian ke A, lalu ke B dan kemudian kembali ke Rumah yang terbaik.
Jadi apa yang memberi di sini? Mengapa tidak menyebutkan untuk masalah TSP umum yang melibatkan n kota semua kemungkinan rute dan pilih yang termurah? Masalahnya adalah dengan pertumbuhan yang cepat dari fungsi faktorial (m!) Yang terlibat dalam penghitungan wisata TSP. Bahkan untuk sejumlah kecil kota terbaik superkomputer saat ini tidak dapat menghitung semua wisata! Dengan demikian, menggunakan kekerasan untuk memecahkan masalah TSP bahkan sederhana berukuran tidak akan bekerja.
Apakah ada algoritma sederhana yang akan menghasilkan solusi optimal untuk masalah TSP? Jika Anda dihadapkan dengan masalah TSP pada Gambar 1, mungkin Anda mungkin tergoda untuk melanjutkan sebagai berikut: Pergi dari rumah ke lokasi terdekat dan kunjungan berikutnya situs yang belum dikunjungi yang termurah untuk pergi ke depan. Pendekatan ini adalah contoh dari algoritma serakah. Algoritma greedy membuat "lokal" keputusan terbaik. Pertanyaannya adalah untuk melihat apakah atau tidak pilihan yang optimal secara lokal menyebabkan solusi yang optimal secara global.
Ide baru saja dijelaskan sering disebut sebagai Tetangga terdekat (NN) pendekatan untuk menemukan tur TSP. Jika kita menerapkan NN untuk masalah pada Gambar 1 kita mendapatkan HCBAH tur, bukan solusi yang optimal. Tapi, mengingat betapa cepat itu adalah untuk menerapkan NN bahkan masalah yang sangat besar sekarang kita bisa mengajukan pertanyaan baru. Bahkan jika NN tidak menghasilkan jawaban yang optimal untuk TSP, apakah itu menghasilkan solusi yang cukup baik bahwa kita bisa puas ini, mengingat betapa cepat kita mendapatkan solusi? Dengan demikian, kita berpikir NN sebagai algoritma pendekatan untuk masalah TSP. Ada dua "tindakan" terkenal yang dapat digunakan untuk memberitahu seberapa baik algoritma pendekatan ini. Salah satu langkah-langkah ini mengacu pada seberapa jauh dari algoritma pendekatan bisa dalam kasus terburuk. Ukuran lain mencoba untuk melihat seberapa baik algoritma pendekatan tidak pada "rata-rata kasus" masalah. Kadang-kadang pendekatan algoritma pendekatan dalam matematika sangat memuaskan dalam satu yang menemukan perkiraan yang sangat baik untuk apa yang tampak sebagai masalah yang sangat sulit yang relatif cepat. Kami akan kembali ke masalah di bawah ini.
Karena NN tidak selalu menghasilkan solusi optimal untuk TSP, mari kita coba algoritma greedy lain yang mungkin lebih baik. Tampaknya wajar bahwa setiap biaya TSP minimal akan menggunakan tepi murah. Jadi mengapa tidak mencoba untuk menambahkan tepi dalam membangun TSP agar murahnya? Tentu saja, tanpa berhati-hati tentang apa tepi kita tambahkan kita mungkin tidak mendapatkan rangkaian tunggal yang melewati semua simpul. Dengan demikian, kita perlu menambahkan tepi dalam rangka peningkatan biaya, tunduk pada pembatasan yang kita tidak pernah memilih lebih dari dua sisi yang bertemu di sebuah sudut dan tidak pernah membentuk sirkuit yang tidak termasuk semua simpul. Mari kita sebut algoritma greedy ini Diurutkan Edges Algoritma. Jika algoritma ini diterapkan pada TSP pada Gambar 1, pertama-tama kita sort sisi dengan biaya: 50, 69, 80, 90, 100, 140. Kita bisa menggunakan tepi berat 50, maka tepi berat 69, tetapi jika tepi berat 80 ditambahkan kita mendapatkan tiga tepi di situs, jadi ini tidak diperbolehkan. Menambahkan tepi berat 90 akan membuat sirkuit dengan panjang 3 (tidak 4) sehingga kita tidak bisa menggunakan ujung itu. Ini berarti bahwa kita harus menyelesaikan tur kami menggunakan tepi berat 100, dan 140. Dengan demikian, tur kita peroleh adalah: HCABH. Tur ini juga gagal menjadi optimal.
Algoritma seperti Tepi Diurut dan Nearest Neighbor cepat untuk menerapkan dan mudah dimengerti konseptual tapi sayangnya tidak dijamin untuk memberikan solusi yang optimal. Seperti cepat menerapkan, algoritma tidak-perlu-optimal kadang-kadang disebut sebagai heuristik atau algoritma heuristik.
Pendekatan lain untuk mengambil rangkaian arus yang mengunjungi setiap situs sekali dan hanya sekali dan mencoba untuk menemukan rangkaian yang lebih murah menggunakan ide-ide berikut. Perhatikan, misalnya, rangkaian di bawah ini (Gambar 2) dalam lima simpul graf lengkap, dimana bobot dari ujung-ujungnya tidak ditampilkan. Apa yang ditampilkan adalah sirkuit yang saat ini baik tur TSP seperti yang kita telah mampu untuk menemukan ketika bobot dipertimbangkan. Disorot dalam diagram adalah dua sisi yang tidak memiliki titik kesamaan. Kedua tepi menentukan 4 simpul (titik akhir dari tepi). Kita dapat menghapus tepi ditampilkan dan bergabung ini 4 simpul dengan dua sisi baru yang mengubah rangkaian yang ditunjukkan dalam sirkuit lain. Dua sisi yang digunakan untuk melakukan hal ini ditunjukkan pada Gambar 3 dengan warna biru.
Diagram untuk TSP, 2-OPT
Gambar 2
Diagram untuk TSP, 2-OPT
Gambar 3
Perhatikan bahwa dalam diagram di atas tepi dalam rangkaian pada Gambar 2 selain yang hitam gelap masih ada. Tepi biru berbeda dari yang hitam tapi, ketika ditambahkan ke tepi sebelumnya, menghasilkan sebuah sirkuit. Jika dua sisi yang ditambahkan memiliki total biaya kurang dari dua sisi mereka mengganti, maka tur TSP baru lebih murah daripada tur sebelumnya. Heuristik lain mengadopsi strategi tepi-switching ini untuk menemukan ditingkatkan tur. Contoh di atas menggambarkan apa yang disebut pendekatan 2-opt karena switch yang melibatkan dua sisi yang digunakan. Untuk masalah TSP lebih besar dapat menggunakan strategi 3-opt di mana tiga tepi akan dihapus dan 3 tepi baru yang ditambahkan dengan tujuan menurunkan total biaya. Untuk masalah ukuran sederhana yang "k-opt" heuristik bisa bekerja dengan baik.
Euclidean TSP
Kasus yang menarik dari TSP adalah untuk mempertimbangkan rute yang optimal melewati koleksi n poin (situs) pada bidang Euclidean (atau lebih umum, n-dimensi Euclidean space). Bobot antara titik (lokasi) yang terlibat diambil sebagai jarak Euclidean antara titik-titik. Jika dalam tur optimal beberapa sepasang tepi AC dan BD lintas seperti yang ditunjukkan di bawah ini (Gambar 4, atas), maka hal ini tidak menjadi tur yang optimal. Mengapa? Pertimbangkan tur di mana tepi A'B 'dan D'C' menggantikan tepi AC dan BD dalam tur kami. Mari kita bandingkan biaya tur ACBDA dengan tur A'B'C'D'A '(Gambar 4, bawah). Perhatikan bahwa tepi AC dan BD bertemu di titik Q yang tidak salah satu situs asli yang terlibat dalam TSP. Kita tahu bahwa AQ + QB lebih besar dari A'B '(karena dalam segitiga AQB, jumlah dua belah pihak memiliki panjang Euclidean lebih besar dari sisi ketiga). Demikian pula DQ + QC lebih panjang dari D'C '. Dengan demikian, AQ + QB + DQ + QC lebih panjang dari A'B '+ D'C'. Namun AQ + QC = AC dan DQ + QB = DB dan karenanya, jika kita mengganti AC dan DB oleh A'B 'dan D'C', kita mendapatkan tur pendek.
Diagram yang menunjukkan mengapa Euclidean TSP tidak bisa menyeberang sendiri
Gambar 4
Sifat khusus lainnya dari solusi optimal untuk TSP tur poin pada bidang Euclidean tergantung pada urutan poin di convex hull (titik umum untuk semua set cembung mengandung set) dari himpunan situs. Dengan demikian, urutan dari semua situs di tur optimal harus menyertakan simpul dari convex hull dalam "urutan siklik" dari lambung poligon cembung.
Wawasan dari Ilmu Komputer
Dalam upaya untuk mendapatkan wawasan ke dalam bagaimana sulitnya untuk memecahkan masalah TSP, ternyata menjadi mudah untuk membedakan antara dua cara berpikir tentang situasi TSP. Dalam satu perspektif, apa yang telah merupakan masalah keputusan. Mengingat grafik lengkap berbobot dengan n simpul, mencari tur yang mengunjungi setiap sudut sekali dan hanya sekali yang berat total kurang dari konstanta k tetap. Namun, ada juga versi optimasi dari masalah, yang kita telah ditekankan di sini, di mana tujuannya adalah menemukan tur simpul sekali dan hanya sekali dengan berat total terkecil yang mungkin.
Apa peneliti untuk membuat fakta bahwa banyak upaya untuk menemukan algoritma sederhana untuk menjawab versi ini TSP telah gagal? Satu penjelasan yang mungkin bahwa ide cerdas yang tepat belum ditemukan. Penjelasan lain mungkin bahwa tidak ada algoritma sederhana atau cepat untuk memecahkan TSP! Selama periode itu investigasi ke dalam TSP sebagai masalah khusus dalam riset operasi sedang dikejar, ada langkah yang luar biasa yang dibuat dalam ilmu komputer. Dengan munculnya komputer komersial murah di tahun 1950-an masalah merancang algoritma untuk memecahkan masalah yang kompleks pada komputer datang ke tengah panggung. Komputer bisa melaksanakan prosedur kompleks yang tidak praktis untuk melakukan dengan tangan. Apakah prinsip-prinsip ada yang harus dipelajari dalam merancang algoritma yang baik? Apa algoritma tercepat untuk memecahkan jenis tertentu masalah? Ini adalah pertanyaan yang merupakan bagian dari subjek baru yang muncul dari ilmu komputer. Dalam ilmu komputer disiplin baru bermunculan: teori kompleksitas. Teori kompleksitas berurusan dengan mencoba untuk mengklasifikasikan betapa sulitnya masalah adalah untuk memecahkan di komputer. Di antara isu-isu utama yang menjadi perhatian adalah berapa banyak waktu dan berapa banyak ruang (memori komputer) yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah tertentu.
Jika seseorang mencoba untuk memecahkan TSP (misalnya menemukan tur terbaik) yang melibatkan 10 kota, itu tidak akan mengejutkan untuk menemukan bahwa itu akan membutuhkan lebih banyak pekerjaan daripada TSP dengan 6 kota. Di sisi lain dalam membandingkan dua masalah 10-kota, adalah lebih sulit untuk memecahkan masalah yang jarak antara situs semua dalam kisaran dari 3.000.000 sampai 8.000.000 daripada untuk memecahkan salah satu di mana situs yang tidak pernah lebih dari 20 unit terpisah? Karena komputer pada tahap tertentu biasanya mengubah nomor ke biner dan karena nomor yang tidak melebihi 20 dapat direpresentasikan dengan 5 bit biner sementara mereka dengan 8.000.000 akan membutuhkan lebih banyak bit, tidak mengherankan bahwa ada lebih banyak "overhead" dalam bekerja dengan besar angka daripada dengan jumlah kecil. Namun, apakah ini "overhead" secara signifikan mengubah jumlah pekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan TSP dengan n kota? Apakah jumlah kota atau ukuran jarak antara mereka yang memberikan kontribusi dalam cara yang penting untuk "kompleksitas" TSP itu? Secara intuitif "ukuran" banyak masalah dapat digambarkan dengan satu nomor. Lainnya "parameter" yang terkait dengan masalah biasanya tidak relevan tetapi memiliki pengaruh yang kecil pada seberapa keras masalahnya adalah untuk memecahkan. Bagaimana jumlah pekerjaan yang harus diukur? Untuk TSP parameter ini n diambil sebagai jumlah kota atau situs yang akan dikunjungi. Semua masalah TSP yang berbeda ukuran n dianggap ekuivalen sulit.
Untuk melaksanakan tugasnya, sebuah algoritma harus diberikan input data dalam beberapa bentuk. Bentuk ini dikenal sebagai struktur data. Data untuk grafik, misalnya, mungkin masukan ke dalam komputer dalam bentuk matriks atau mungkin masukan dalam bentuk daftar simpul yang simpul grafik terhubung (dengan berat terpasang). Sebagai contoh, untuk grafik pada Gambar 5, kita bisa mewakili informasi dalam salah satu dari dua bentuk di bawah ini, di mana tidak hanya kita yang menunjukkan simpul yang terhubung ke simpul yang tetapi juga beban di tepi. Dengan demikian, "infinity" simbol dalam (A, D) sel berarti bahwa tidak ada ujung dari A ke D sedangkan 6 di dalam (A, B) sel menunjukkan tepi dari A ke B memiliki berat badan 6. Untuk representasi daftar, jika simpul tidak bergabung satu sama lain, maka titik ini dihilangkan dari daftar. Idenya adalah untuk menghitung jumlah operasi yang algoritma harus melakukan untuk mendapatkan jawabannya. Sebagai contoh, dalam mengukur kompleksitas algoritma sorting mana ada nnumbers untuk menyortir, orang mungkin menghitung berapa banyak perbandingan dan berapa banyak susun nomor dalam daftar asli yang diperlukan untuk menyelesaikan proses penyortiran.
Sebuah graf berbobot
Gambar 5
Matrix desciption dari graf berbobot di atas
Gambar 6 (representasi Matrix Gambar 5)
Deskripsi daftar graf berbobot di atas
Gambar 7 (representasi Daftar Gambar 5)
Representasi daftar grafik dengan banyak simpul dan beberapa tepi akan memiliki simbol lebih sedikit daripada representasi matriks untuk grafik yang sama. Beberapa masalah yang mungkin meminjamkan diri untuk algoritma mudah bila data yang diberikan dalam satu struktur data daripada yang lain.
Sementara beberapa masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma yang sangat cepat, yang lain ternyata memiliki algoritma yang algoritma hanya dikenal semua butuh waktu lama untuk menyelesaikan. Beberapa masalah telah terbukti begitu keras bahwa tidak ada algoritma untuk memecahkan mereka akan berakhir dalam jumlah waktu yang terbatas. Situasi untuk TSP sangat menarik. Versi keputusan TSP diketahui NP-lengkap, yang berarti bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial dikenal untuk TSP dan jika salah satu dari ribuan masalah yang ditemukan memiliki algoritma waktu polinomial, maka akan ada algoritma waktu polinomial untuk TSP. Di sisi lain, untuk masalah NP-lengkap tidak ada bukti bahwa algoritma eksponensial diperlukan, dan bukti untuk masalah ini yang menunjukkan pekerjaan eksponensial diperlukan untuk memecahkan masalah akan berarti bukti untuk mereka semua. Dengan demikian, masalah NP-lengkap adalah kelompok "sama" sulit atau mudah (yang diukur dengan polinomial waktu) masalah; kita tidak tahu mana.
Hal ini secara luas diyakini bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial untuk TSP akan ditemukan. Versi optimalisasi TSP diketahui NP-keras. Ini berarti bahwa masalah tersebut diketahui berada di NP, dan jika beberapa solusi waktu polinomial untuk masalah ini ada, maka beberapa (maka, setiap) masalah NP-lengkap akan dipecahkan dalam waktu polinomial. Untuk berada di NP berarti bahwa semua masalah di NP mengurangi masalah ini dalam waktu polinomial. Untuk berada di NP berarti bahwa seseorang dapat memverifikasi (tidak harus menemukan) bahwa solusi yang diberikan kepada yang benar dalam waktu polinomial. Jika seseorang memberikan yang baik "menebak" untuk solusi kita dapat dengan cepat memverifikasi bahwa ia bekerja.
Hal ini diketahui bahwa masalah keputusan TSP adalah NP-lengkap tapi masih ada masalah apakah seseorang dapat dengan cepat menemukan pendekatan yang baik kepada TSP. Ada dua pengertian yang berbeda di mana satu mungkin berarti pendekatan yang baik. Di satu sisi, jika seseorang berlaku algoritma yang mungkin tertarik untuk mengetahui bahwa di satu rata-rata mendapat solusi yang baik. Di sisi lain yang mungkin tertarik untuk mengetahui dalam kasus terburuk yang satu tidak bisa terlalu jauh. Jadi, jika seseorang bisa menunjukkan bahwa orang bisa menerapkan algoritma untuk TSP untuk n kota, dan tidak peduli apa jarak yang terlibat, orang dapat menemukan dalam waktu polinomial solusi yang tidak lebih dari 1,01 x OPT, di mana OPT menunjukkan solusi berat badan terbaik yang ada, orang akan jauh lebih bahagia daripada jika metode yang melakukan tidak lebih baik daripada menemukan solusi yang tidak lebih dari 1,5 x OPT.
Sebuah terobosan yang relatif baru menunjukkan bahwa skema waktu pendekatan polinomial ada untuk tipe khusus dari TSP, yaitu pada saat beban (biaya) dalam masalah tersebut jarak Euclidean, sedangkan untuk nilai-nilai umum ada skema pendekatan seperti itu.
Hal penting untuk diingat di sini adalah bahwa versi optimalisasi TSP sangat penting bahwa solusi harus ditemukan untuk sdt masalah yang baik provably optimal meskipun membutuhkan waktu yang lama untuk menemukan mereka, atau yang provably perkiraan relatif baik . Sebagai contoh, jika suatu negara tertentu yang diproduksi chip komputer bisa menemukan solusi yang lebih baik untuk masalah TSP besar, bisa memproduksi chip yang lebih murah, yang akan membuat produk yang lebih kompetitif dibandingkan dengan negara yang tidak bisa memecahkan TSP secara efisien.
Variasi pada Tema
Matematikawan dilatih untuk mengambil masalah penting dan menemukan masalah yang terkait yang juga menarik. Variasi yang hebat matematika menemukan untuk masalah dilakukan di berbagai bidang. Hal ini mencerminkan fakta bahwa metode yang telah terbukti berguna dalam memecahkan masalah tertentu sering berguna dalam melaksanakan masalah terkait atau "sekitar". Salah satu cara untuk memperpanjang apa yang mereka ketahui itu di arena diterapkan: Ambil masalah bunga dan perubahan ke salah satu aplikasi yang berhubungan dengan yang asli. Sebagai contoh, seseorang mungkin harus awalnya ingin memecahkan masalah bagi salesman tetapi menyadari bahwa masalah mengambil anak-anak dan membawa mereka ke sebuah kamp hari adalah masalah terkait tetapi satu dengan kendala bahwa seseorang tidak dapat melebihi ukuran minibus . Sebagai contoh lain, kami telah mempertimbangkan aplikasi di mana tur ditemukan yang dimulai dan berakhir di tempat yang sama dan kunjungan setiap vertex sekali dan hanya sekali. Bagaimana dengan masalah mulai dari sebuah situs, mengunjungi setiap sudut sekali dan hanya sekali, tapi berakhir di situs yang berbeda?
Satu juga dapat bervariasi masalah dalam kerangka independen matematis apakah ada aplikasi alami dari varian ini. Misalnya, seperti yang kita berpose masalah asli dapat dinyatakan:
Cari tur biaya minimum untuk (rangkaian sederhana) dari situs membuat sebuah graf lengkap tertimbang.
Fitur dari masalah ini adalah bahwa:
(a). Salah satunya adalah mencari sirkuit,
(b). Fungsi tujuan adalah untuk meminimalkan jumlah dari bobot dari tepi dalam rangkaian, dan
(c). Bobot diasumsikan "jarak abstrak." (Dengan demikian, mereka simetris dan mematuhi ketidaksetaraan segitiga.)
Di atas, kami mengubah Kondisi (a) untuk aplikasi alasan. Kita juga bisa mengubah kondisi (a) bahkan jika kita bisa memikirkan ada aplikasi. Anehnya, masalah-masalah baru sering menemukan aplikasi di masa depan, dan mereka mungkin menyarankan isu-isu teoritis baru juga.
Kami mendapatkan banyak varian menarik dengan mengubah Kondisi (b). Sebagai contoh, Bottleneck Traveling Salesman Problem (TSP bottleneck) muncul sebagai varian dari TSP biasa dengan mengubah fungsi tujuan. Hal ini dinyatakan sebagai berikut: Cari sirkuit Hamiltonian dalam grafik berbobot dengan panjang minimal tepi terpanjang. Sekarang kita dapat mencoba untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti kompleksitas komputasi varian ini (misalnya Apakah hambatan TSP NP-lengkap?) Dan untuk menemukan heuristik untuk masalah tersebut. Karena masalah ini dihasilkan atas dasar teoritis, kita juga mungkin mencoba untuk melihat apakah ada aplikasi untuk masalah ini juga. Ini mungkin tampak alami yang satu ingin digunakan sebagai fungsi tujuan memiliki tur yang meminimalkan tepi terpendek, tapi bagaimana tur yang memaksimalkan tepi terpendek? Tidak hanya memiliki peneliti menyelidiki pertanyaan ini, tapi ternyata memiliki aplikasi untuk bagaimana posisi paku keling di sayap pesawat!
Akhirnya, kita mungkin mempertimbangkan mengubah sifat beban atau jarak yang terlibat. Kami sebentar melakukan ini atas ketika mempertimbangkan versi khusus dari TSP dimana jarak yang jarak Euclidean. Hal ini diketahui bahwa masalah ini juga NP-lengkap. Tentu saja, kami juga bisa bervariasi beberapa kondisi di atas sekaligus. Misalnya, kita ingin mencari tur TSP dimana total panjang dari tur adalah sebagai besar mungkin untuk poin yang dijelaskan oleh pasangan terurut bilangan real. Ternyata dalam dua dimensi jika panjang dari tur melibatkan jarak yang mematuhi "taksi" metrik, maka masalah dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, tidak seperti situasi di mana jarak antara pasangan diberikan oleh jarak Euclidean dan satu ingin untuk meminimalkan panjang tur.
TSP juga sub-masalah banyak masalah riset operasi besar. Sebagai contoh, sebuah distrik sekolah dapat menggunakan armada minibus untuk menjemput siswa naik dari sudut-sudut jalan tertentu dan mengantarkan mereka ke dan dari sekolah. Jika bus memiliki kapasitas C, seseorang mungkin ingin mengambil lokasi di mana berbagai siswa dapat mengambil dan membagi mereka ke dalam kelompok-kelompok di mana masing-masing kelompok mengandung sebagian besar siswa C berkumpul di lokasi tersebut. Sekarang seseorang ingin mengatur TSP untuk masing-masing dari mereka minibus. Tujuan dari semua ini adalah untuk merancang suatu sistem yang dapat meminimalkan total biaya dalam mendapatkan siswa ke sekolah, atau mungkin beberapa fungsi optimasi lainnya, seperti meminimalkan waktu rata-rata siswa menghabiskan waktu di bus. Masalah jenis ini menanamkan TSP dalam koleksi yang lebih luas dari masalah yang disebut kendaraan masalah routing. Biasanya masalah routing kendaraan menggabungkan lebih "khusus" fitur dari sekedar biaya mendapatkan antara pick up dan pengiriman poin. Mereka berurusan dengan kapasitas kendaraan yang membawa barang atau penumpang (misalnya van bandara dapat menampung paling banyak 6 orang atau truk kecil dapat membawa paling ton produk). Mereka juga mungkin harus mempertimbangkan "sisi alternatif dari jalan parkir" peraturan, seperti digunakan di banyak kota-kota besar, yang akan mempengaruhi pola untuk menggunakan truk untuk melakukan pengiriman ke toko-toko.
Ini hanya beberapa dari banyak contoh bagaimana matematika yang digunakan untuk mencari solusi yang semakin efisien untuk masalah riset operasi lebih keras dan lebih halus, sehingga meningkatkan semua kehidupan kita.
Ternyata masalah salesman keliling tidak hanya masalah diterapkan penting dengan banyak varian yang menarik; juga memiliki hubungan penting untuk matematika teoritis dan ilmu komputer.
Sejarah dan Dasar Situs
Seperti banyak pertanyaan sejarah, itu adalah kompleks untuk dijabarkan persis di mana TSP sebagai masalah matematika berasal. Ada referensi untuk itu sebagai masalah praktis dalam buku Jerman dari 1832. Beberapa orang kredit Karl Menger dengan mempopulerkan masalah kepada masyarakat matematika Eropa di tahun 1920-an. Merrill Banjir, yang belajar di Princeton, juga mempopulerkan masalah dan membawanya ke perhatian komunitas riset matematika dan operasi (di AS). Ia menunjukkan bahwa ia mendengar tentang masalah dari AW Tucker pada tahun 1937.
Banjir mengklaim bahwa Tucker telah diberitahu tentang masalah oleh Hassler Whitney, tapi ketika Tucker ditanya tentang hal ini ia tidak dapat mengkonfirmasi atau menyangkal hal itu - ia tidak lagi ingat!
Hassler Whitney
Whitney juga tidak ingat telah dibahas masalah dengan Tucker (bawah).
Foto A. W. Tucker
(Courtesy of Alan Tucker, anak A. W. Tucker)
Dalam hal apapun Banjir (yang namanya juga dikaitkan dengan teori permainan) mendorong studi masalah dengan Rand Corporation. Dari hari-hari awal Rand secara aktif terlibat dalam pekerjaan di riset operasi dan, seperti yang akan kita lihat di bawah, ada banyak masalah riset operasi yang mengambil bentuk TSP.
Bahkan sebelum matematikawan memandang masalah ini ada analitis salesman berpikiran dan majikan mereka yang berpikir tentang hal itu. Mari kita lihat contoh yang sangat sederhana. Misalkan diagram di bawah ini menunjukkan jarak jalan antara tiga kota yang Hilda, yang menjual perangkat lunak untuk sekolah tinggi, harus melakukan perjalanan (mulai dari rumah). Angka-angka di dekat segmen garis (tepi) dalam diagram adalah mengemudi jarak antara lokasi.
4 kota TSP grafik
Gambar 1 (A 4-kota masalah TSP)
Apa yang kita miliki di atas adalah diagram yang terdiri dari titik-titik dan garis yang dikenal sebagai grafik. Ini adalah jenis khusus dari grafik yang dikenal sebagai graf lengkap karena setiap simpul bergabung dengan setiap orang lain. Selain itu, kami telah ditugaskan untuk setiap tepi grafik lengkap berat, yang bisa menjadi waktu, jarak jalan, biaya tiket kereta api atau pesawat, dll untuk perjalanan antara dua lokasi di titik akhir dari tepi. Biasanya bobot ini diambil sebagai angka non-negatif (tapi menarik untuk mempertimbangkan apa interpretasi mungkin memakai menggunakan bobot negatif) yang mematuhi ketidaksetaraan segitiga. Ini berarti bahwa diberikan tiga lokasi X, Y, dan Z jumlah dari bobot untuk setiap pasangan tiga tepi lokasi menentukan setidaknya sama besar dengan berat di tepi ketiga. (Untuk fungsi jarak, memuaskan ketidaksamaan segitiga merupakan bagian dari definisi biasa, seperti persyaratan bahwa jarak dari A ke B sama dengan jarak dari B ke A.) Dalam contoh kita, kita mengasumsikan bahwa kita memiliki sebuah TSP simetris - biaya untuk pergi dari X ke Y adalah sama dengan biaya untuk pergi dari Y ke X - tetapi banyak aplikasi menarik keadaan yang TSP asimetris di mana biaya pergi dari X ke Y mungkin tidak sama sebagai biaya untuk pergi dari Y ke X.
Tujuan dalam memecahkan TSP adalah untuk menemukan tur biaya minimum, tur yang optimal. Sebuah tur simpul dari grafik yang mengunjungi setiap sudut (mengulangi ada tepi) sekali dan hanya sekali dikenal sebagai sirkuit Hamilton. Dengan demikian, seseorang dapat memikirkan memecahkan TSP sebagai menemukan sirkuit Hamilton biaya minimum dalam graf lengkap dengan bobot di tepi.
Bahkan tidak mungkin terjadi untuk beberapa orang bahwa urutan di mana kita mengunjungi berbagai kota wilayah membuat perbedaan, tetapi salah satu cara untuk melihat hal ini adalah untuk menentukan semua wisata yang berbeda yang satu dapat memilih. Pertama, perhatikan satu penyederhanaan. Jika salah satu mengunjungi kota-kota wilayah dalam urutan: Home, A, B, C, Home, maka ini akan dianggap sama dengan tur di mana kita mengunjungi kota-kota wilayah dalam urutan terbalik: Home, C, B, A, Rumah . Kami akan mempertimbangkan pasangan seperti tur yang "sama," meskipun mungkin ada pro dan kontra dari berbagai jenis dalam memilih antara dua wisata. Dalam hal total biaya, wisata menghasilkan jawaban yang sama.
Dalam situasi yang ditunjukkan pada Gambar 1, berapa banyak TSP wisata yang ada? Karena dari rumah satu dapat mengunjungi salah satu dari tiga pilihan, dan dari sana kita dapat mengunjungi salah satu dari dua kota, dll, dan menggunakan prinsip dasar penghitungan (yang memberitahu kita untuk memperbanyak jumlah cara yang satu dapat melakukan tugas masing-masing komponen dalam masalah penghitungan), kami menemukan bahwa ada 3! = 3 x 2 x 1 = 6 rute, yang dibagi 2 (untuk alasan yang dijelaskan di atas) memberikan 3 rute yang berbeda. Untuk grafik lengkap umum dengan n simpul, jumlah rute TSP yang berbeda akan menjadi:
persamaan untuk jumlah TSP wisata
Kembali ke masalah pada Gambar 1 dan enumerasi TSP 3 tur kita dapat memilih yang termurah:
HABCH yang biaya 80 + 140 + 90 + 50 = 360
HACBH yang biaya 80 + 100 + 90 + 69 = 339
HCABH yang biaya 50 + 100 + 140 + 69 = 359.
Jadi, pergi dari rumah ke C, kemudian ke A, lalu ke B dan kemudian kembali ke Rumah yang terbaik.
Jadi apa yang memberi di sini? Mengapa tidak menyebutkan untuk masalah TSP umum yang melibatkan n kota semua kemungkinan rute dan pilih yang termurah? Masalahnya adalah dengan pertumbuhan yang cepat dari fungsi faktorial (m!) Yang terlibat dalam penghitungan wisata TSP. Bahkan untuk sejumlah kecil kota terbaik superkomputer saat ini tidak dapat menghitung semua wisata! Dengan demikian, menggunakan kekerasan untuk memecahkan masalah TSP bahkan sederhana berukuran tidak akan bekerja.
Apakah ada algoritma sederhana yang akan menghasilkan solusi optimal untuk masalah TSP? Jika Anda dihadapkan dengan masalah TSP pada Gambar 1, mungkin Anda mungkin tergoda untuk melanjutkan sebagai berikut: Pergi dari rumah ke lokasi terdekat dan kunjungan berikutnya situs yang belum dikunjungi yang termurah untuk pergi ke depan. Pendekatan ini adalah contoh dari algoritma serakah. Algoritma greedy membuat "lokal" keputusan terbaik. Pertanyaannya adalah untuk melihat apakah atau tidak pilihan yang optimal secara lokal menyebabkan solusi yang optimal secara global.
Ide baru saja dijelaskan sering disebut sebagai Tetangga terdekat (NN) pendekatan untuk menemukan tur TSP. Jika kita menerapkan NN untuk masalah pada Gambar 1 kita mendapatkan HCBAH tur, bukan solusi yang optimal. Tapi, mengingat betapa cepat itu adalah untuk menerapkan NN bahkan masalah yang sangat besar sekarang kita bisa mengajukan pertanyaan baru. Bahkan jika NN tidak menghasilkan jawaban yang optimal untuk TSP, apakah itu menghasilkan solusi yang cukup baik bahwa kita bisa puas ini, mengingat betapa cepat kita mendapatkan solusi? Dengan demikian, kita berpikir NN sebagai algoritma pendekatan untuk masalah TSP. Ada dua "tindakan" terkenal yang dapat digunakan untuk memberitahu seberapa baik algoritma pendekatan ini. Salah satu langkah-langkah ini mengacu pada seberapa jauh dari algoritma pendekatan bisa dalam kasus terburuk. Ukuran lain mencoba untuk melihat seberapa baik algoritma pendekatan tidak pada "rata-rata kasus" masalah. Kadang-kadang pendekatan algoritma pendekatan dalam matematika sangat memuaskan dalam satu yang menemukan perkiraan yang sangat baik untuk apa yang tampak sebagai masalah yang sangat sulit yang relatif cepat. Kami akan kembali ke masalah di bawah ini.
Karena NN tidak selalu menghasilkan solusi optimal untuk TSP, mari kita coba algoritma greedy lain yang mungkin lebih baik. Tampaknya wajar bahwa setiap biaya TSP minimal akan menggunakan tepi murah. Jadi mengapa tidak mencoba untuk menambahkan tepi dalam membangun TSP agar murahnya? Tentu saja, tanpa berhati-hati tentang apa tepi kita tambahkan kita mungkin tidak mendapatkan rangkaian tunggal yang melewati semua simpul. Dengan demikian, kita perlu menambahkan tepi dalam rangka peningkatan biaya, tunduk pada pembatasan yang kita tidak pernah memilih lebih dari dua sisi yang bertemu di sebuah sudut dan tidak pernah membentuk sirkuit yang tidak termasuk semua simpul. Mari kita sebut algoritma greedy ini Diurutkan Edges Algoritma. Jika algoritma ini diterapkan pada TSP pada Gambar 1, pertama-tama kita sort sisi dengan biaya: 50, 69, 80, 90, 100, 140. Kita bisa menggunakan tepi berat 50, maka tepi berat 69, tetapi jika tepi berat 80 ditambahkan kita mendapatkan tiga tepi di situs, jadi ini tidak diperbolehkan. Menambahkan tepi berat 90 akan membuat sirkuit dengan panjang 3 (tidak 4) sehingga kita tidak bisa menggunakan ujung itu. Ini berarti bahwa kita harus menyelesaikan tur kami menggunakan tepi berat 100, dan 140. Dengan demikian, tur kita peroleh adalah: HCABH. Tur ini juga gagal menjadi optimal.
Algoritma seperti Tepi Diurut dan Nearest Neighbor cepat untuk menerapkan dan mudah dimengerti konseptual tapi sayangnya tidak dijamin untuk memberikan solusi yang optimal. Seperti cepat menerapkan, algoritma tidak-perlu-optimal kadang-kadang disebut sebagai heuristik atau algoritma heuristik.
Pendekatan lain untuk mengambil rangkaian arus yang mengunjungi setiap situs sekali dan hanya sekali dan mencoba untuk menemukan rangkaian yang lebih murah menggunakan ide-ide berikut. Perhatikan, misalnya, rangkaian di bawah ini (Gambar 2) dalam lima simpul graf lengkap, dimana bobot dari ujung-ujungnya tidak ditampilkan. Apa yang ditampilkan adalah sirkuit yang saat ini baik tur TSP seperti yang kita telah mampu untuk menemukan ketika bobot dipertimbangkan. Disorot dalam diagram adalah dua sisi yang tidak memiliki titik kesamaan. Kedua tepi menentukan 4 simpul (titik akhir dari tepi). Kita dapat menghapus tepi ditampilkan dan bergabung ini 4 simpul dengan dua sisi baru yang mengubah rangkaian yang ditunjukkan dalam sirkuit lain. Dua sisi yang digunakan untuk melakukan hal ini ditunjukkan pada Gambar 3 dengan warna biru.
Diagram untuk TSP, 2-OPT
Gambar 2
Diagram untuk TSP, 2-OPT
Gambar 3
Perhatikan bahwa dalam diagram di atas tepi dalam rangkaian pada Gambar 2 selain yang hitam gelap masih ada. Tepi biru berbeda dari yang hitam tapi, ketika ditambahkan ke tepi sebelumnya, menghasilkan sebuah sirkuit. Jika dua sisi yang ditambahkan memiliki total biaya kurang dari dua sisi mereka mengganti, maka tur TSP baru lebih murah daripada tur sebelumnya. Heuristik lain mengadopsi strategi tepi-switching ini untuk menemukan ditingkatkan tur. Contoh di atas menggambarkan apa yang disebut pendekatan 2-opt karena switch yang melibatkan dua sisi yang digunakan. Untuk masalah TSP lebih besar dapat menggunakan strategi 3-opt di mana tiga tepi akan dihapus dan 3 tepi baru yang ditambahkan dengan tujuan menurunkan total biaya. Untuk masalah ukuran sederhana yang "k-opt" heuristik bisa bekerja dengan baik.
Euclidean TSP
Kasus yang menarik dari TSP adalah untuk mempertimbangkan rute yang optimal melewati koleksi n poin (situs) pada bidang Euclidean (atau lebih umum, n-dimensi Euclidean space). Bobot antara titik (lokasi) yang terlibat diambil sebagai jarak Euclidean antara titik-titik. Jika dalam tur optimal beberapa sepasang tepi AC dan BD lintas seperti yang ditunjukkan di bawah ini (Gambar 4, atas), maka hal ini tidak menjadi tur yang optimal. Mengapa? Pertimbangkan tur di mana tepi A'B 'dan D'C' menggantikan tepi AC dan BD dalam tur kami. Mari kita bandingkan biaya tur ACBDA dengan tur A'B'C'D'A '(Gambar 4, bawah). Perhatikan bahwa tepi AC dan BD bertemu di titik Q yang tidak salah satu situs asli yang terlibat dalam TSP. Kita tahu bahwa AQ + QB lebih besar dari A'B '(karena dalam segitiga AQB, jumlah dua belah pihak memiliki panjang Euclidean lebih besar dari sisi ketiga). Demikian pula DQ + QC lebih panjang dari D'C '. Dengan demikian, AQ + QB + DQ + QC lebih panjang dari A'B '+ D'C'. Namun AQ + QC = AC dan DQ + QB = DB dan karenanya, jika kita mengganti AC dan DB oleh A'B 'dan D'C', kita mendapatkan tur pendek.
Diagram yang menunjukkan mengapa Euclidean TSP tidak bisa menyeberang sendiri
Gambar 4
Sifat khusus lainnya dari solusi optimal untuk TSP tur poin pada bidang Euclidean tergantung pada urutan poin di convex hull (titik umum untuk semua set cembung mengandung set) dari himpunan situs. Dengan demikian, urutan dari semua situs di tur optimal harus menyertakan simpul dari convex hull dalam "urutan siklik" dari lambung poligon cembung.
Wawasan dari Ilmu Komputer
Dalam upaya untuk mendapatkan wawasan ke dalam bagaimana sulitnya untuk memecahkan masalah TSP, ternyata menjadi mudah untuk membedakan antara dua cara berpikir tentang situasi TSP. Dalam satu perspektif, apa yang telah merupakan masalah keputusan. Mengingat grafik lengkap berbobot dengan n simpul, mencari tur yang mengunjungi setiap sudut sekali dan hanya sekali yang berat total kurang dari konstanta k tetap. Namun, ada juga versi optimasi dari masalah, yang kita telah ditekankan di sini, di mana tujuannya adalah menemukan tur simpul sekali dan hanya sekali dengan berat total terkecil yang mungkin.
Apa peneliti untuk membuat fakta bahwa banyak upaya untuk menemukan algoritma sederhana untuk menjawab versi ini TSP telah gagal? Satu penjelasan yang mungkin bahwa ide cerdas yang tepat belum ditemukan. Penjelasan lain mungkin bahwa tidak ada algoritma sederhana atau cepat untuk memecahkan TSP! Selama periode itu investigasi ke dalam TSP sebagai masalah khusus dalam riset operasi sedang dikejar, ada langkah yang luar biasa yang dibuat dalam ilmu komputer. Dengan munculnya komputer komersial murah di tahun 1950-an masalah merancang algoritma untuk memecahkan masalah yang kompleks pada komputer datang ke tengah panggung. Komputer bisa melaksanakan prosedur kompleks yang tidak praktis untuk melakukan dengan tangan. Apakah prinsip-prinsip ada yang harus dipelajari dalam merancang algoritma yang baik? Apa algoritma tercepat untuk memecahkan jenis tertentu masalah? Ini adalah pertanyaan yang merupakan bagian dari subjek baru yang muncul dari ilmu komputer. Dalam ilmu komputer disiplin baru bermunculan: teori kompleksitas. Teori kompleksitas berurusan dengan mencoba untuk mengklasifikasikan betapa sulitnya masalah adalah untuk memecahkan di komputer. Di antara isu-isu utama yang menjadi perhatian adalah berapa banyak waktu dan berapa banyak ruang (memori komputer) yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah tertentu.
Jika seseorang mencoba untuk memecahkan TSP (misalnya menemukan tur terbaik) yang melibatkan 10 kota, itu tidak akan mengejutkan untuk menemukan bahwa itu akan membutuhkan lebih banyak pekerjaan daripada TSP dengan 6 kota. Di sisi lain dalam membandingkan dua masalah 10-kota, adalah lebih sulit untuk memecahkan masalah yang jarak antara situs semua dalam kisaran dari 3.000.000 sampai 8.000.000 daripada untuk memecahkan salah satu di mana situs yang tidak pernah lebih dari 20 unit terpisah? Karena komputer pada tahap tertentu biasanya mengubah nomor ke biner dan karena nomor yang tidak melebihi 20 dapat direpresentasikan dengan 5 bit biner sementara mereka dengan 8.000.000 akan membutuhkan lebih banyak bit, tidak mengherankan bahwa ada lebih banyak "overhead" dalam bekerja dengan besar angka daripada dengan jumlah kecil. Namun, apakah ini "overhead" secara signifikan mengubah jumlah pekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan TSP dengan n kota? Apakah jumlah kota atau ukuran jarak antara mereka yang memberikan kontribusi dalam cara yang penting untuk "kompleksitas" TSP itu? Secara intuitif "ukuran" banyak masalah dapat digambarkan dengan satu nomor. Lainnya "parameter" yang terkait dengan masalah biasanya tidak relevan tetapi memiliki pengaruh yang kecil pada seberapa keras masalahnya adalah untuk memecahkan. Bagaimana jumlah pekerjaan yang harus diukur? Untuk TSP parameter ini n diambil sebagai jumlah kota atau situs yang akan dikunjungi. Semua masalah TSP yang berbeda ukuran n dianggap ekuivalen sulit.
Untuk melaksanakan tugasnya, sebuah algoritma harus diberikan input data dalam beberapa bentuk. Bentuk ini dikenal sebagai struktur data. Data untuk grafik, misalnya, mungkin masukan ke dalam komputer dalam bentuk matriks atau mungkin masukan dalam bentuk daftar simpul yang simpul grafik terhubung (dengan berat terpasang). Sebagai contoh, untuk grafik pada Gambar 5, kita bisa mewakili informasi dalam salah satu dari dua bentuk di bawah ini, di mana tidak hanya kita yang menunjukkan simpul yang terhubung ke simpul yang tetapi juga beban di tepi. Dengan demikian, "infinity" simbol dalam (A, D) sel berarti bahwa tidak ada ujung dari A ke D sedangkan 6 di dalam (A, B) sel menunjukkan tepi dari A ke B memiliki berat badan 6. Untuk representasi daftar, jika simpul tidak bergabung satu sama lain, maka titik ini dihilangkan dari daftar. Idenya adalah untuk menghitung jumlah operasi yang algoritma harus melakukan untuk mendapatkan jawabannya. Sebagai contoh, dalam mengukur kompleksitas algoritma sorting mana ada nnumbers untuk menyortir, orang mungkin menghitung berapa banyak perbandingan dan berapa banyak susun nomor dalam daftar asli yang diperlukan untuk menyelesaikan proses penyortiran.
Sebuah graf berbobot
Gambar 5
Matrix desciption dari graf berbobot di atas
Gambar 6 (representasi Matrix Gambar 5)
Deskripsi daftar graf berbobot di atas
Gambar 7 (representasi Daftar Gambar 5)
Representasi daftar grafik dengan banyak simpul dan beberapa tepi akan memiliki simbol lebih sedikit daripada representasi matriks untuk grafik yang sama. Beberapa masalah yang mungkin meminjamkan diri untuk algoritma mudah bila data yang diberikan dalam satu struktur data daripada yang lain.
Sementara beberapa masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma yang sangat cepat, yang lain ternyata memiliki algoritma yang algoritma hanya dikenal semua butuh waktu lama untuk menyelesaikan. Beberapa masalah telah terbukti begitu keras bahwa tidak ada algoritma untuk memecahkan mereka akan berakhir dalam jumlah waktu yang terbatas. Situasi untuk TSP sangat menarik. Versi keputusan TSP diketahui NP-lengkap, yang berarti bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial dikenal untuk TSP dan jika salah satu dari ribuan masalah yang ditemukan memiliki algoritma waktu polinomial, maka akan ada algoritma waktu polinomial untuk TSP. Di sisi lain, untuk masalah NP-lengkap tidak ada bukti bahwa algoritma eksponensial diperlukan, dan bukti untuk masalah ini yang menunjukkan pekerjaan eksponensial diperlukan untuk memecahkan masalah akan berarti bukti untuk mereka semua. Dengan demikian, masalah NP-lengkap adalah kelompok "sama" sulit atau mudah (yang diukur dengan polinomial waktu) masalah; kita tidak tahu mana.
Hal ini secara luas diyakini bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial untuk TSP akan ditemukan. Versi optimalisasi TSP diketahui NP-keras. Ini berarti bahwa masalah tersebut diketahui berada di NP, dan jika beberapa solusi waktu polinomial untuk masalah ini ada, maka beberapa (maka, setiap) masalah NP-lengkap akan dipecahkan dalam waktu polinomial. Untuk berada di NP berarti bahwa semua masalah di NP mengurangi masalah ini dalam waktu polinomial. Untuk berada di NP berarti bahwa seseorang dapat memverifikasi (tidak harus menemukan) bahwa solusi yang diberikan kepada yang benar dalam waktu polinomial. Jika seseorang memberikan yang baik "menebak" untuk solusi kita dapat dengan cepat memverifikasi bahwa ia bekerja.
Hal ini diketahui bahwa masalah keputusan TSP adalah NP-lengkap tapi masih ada masalah apakah seseorang dapat dengan cepat menemukan pendekatan yang baik kepada TSP. Ada dua pengertian yang berbeda di mana satu mungkin berarti pendekatan yang baik. Di satu sisi, jika seseorang berlaku algoritma yang mungkin tertarik untuk mengetahui bahwa di satu rata-rata mendapat solusi yang baik. Di sisi lain yang mungkin tertarik untuk mengetahui dalam kasus terburuk yang satu tidak bisa terlalu jauh. Jadi, jika seseorang bisa menunjukkan bahwa orang bisa menerapkan algoritma untuk TSP untuk n kota, dan tidak peduli apa jarak yang terlibat, orang dapat menemukan dalam waktu polinomial solusi yang tidak lebih dari 1,01 x OPT, di mana OPT menunjukkan solusi berat badan terbaik yang ada, orang akan jauh lebih bahagia daripada jika metode yang melakukan tidak lebih baik daripada menemukan solusi yang tidak lebih dari 1,5 x OPT.
Sebuah terobosan yang relatif baru menunjukkan bahwa skema waktu pendekatan polinomial ada untuk tipe khusus dari TSP, yaitu pada saat beban (biaya) dalam masalah tersebut jarak Euclidean, sedangkan untuk nilai-nilai umum ada skema pendekatan seperti itu.
Hal penting untuk diingat di sini adalah bahwa versi optimalisasi TSP sangat penting bahwa solusi harus ditemukan untuk sdt masalah yang baik provably optimal meskipun membutuhkan waktu yang lama untuk menemukan mereka, atau yang provably perkiraan relatif baik . Sebagai contoh, jika suatu negara tertentu yang diproduksi chip komputer bisa menemukan solusi yang lebih baik untuk masalah TSP besar, bisa memproduksi chip yang lebih murah, yang akan membuat produk yang lebih kompetitif dibandingkan dengan negara yang tidak bisa memecahkan TSP secara efisien.
Variasi pada Tema
Matematikawan dilatih untuk mengambil masalah penting dan menemukan masalah yang terkait yang juga menarik. Variasi yang hebat matematika menemukan untuk masalah dilakukan di berbagai bidang. Hal ini mencerminkan fakta bahwa metode yang telah terbukti berguna dalam memecahkan masalah tertentu sering berguna dalam melaksanakan masalah terkait atau "sekitar". Salah satu cara untuk memperpanjang apa yang mereka ketahui itu di arena diterapkan: Ambil masalah bunga dan perubahan ke salah satu aplikasi yang berhubungan dengan yang asli. Sebagai contoh, seseorang mungkin harus awalnya ingin memecahkan masalah bagi salesman tetapi menyadari bahwa masalah mengambil anak-anak dan membawa mereka ke sebuah kamp hari adalah masalah terkait tetapi satu dengan kendala bahwa seseorang tidak dapat melebihi ukuran minibus . Sebagai contoh lain, kami telah mempertimbangkan aplikasi di mana tur ditemukan yang dimulai dan berakhir di tempat yang sama dan kunjungan setiap vertex sekali dan hanya sekali. Bagaimana dengan masalah mulai dari sebuah situs, mengunjungi setiap sudut sekali dan hanya sekali, tapi berakhir di situs yang berbeda?
Satu juga dapat bervariasi masalah dalam kerangka independen matematis apakah ada aplikasi alami dari varian ini. Misalnya, seperti yang kita berpose masalah asli dapat dinyatakan:
Cari tur biaya minimum untuk (rangkaian sederhana) dari situs membuat sebuah graf lengkap tertimbang.
Fitur dari masalah ini adalah bahwa:
(a). Salah satunya adalah mencari sirkuit,
(b). Fungsi tujuan adalah untuk meminimalkan jumlah dari bobot dari tepi dalam rangkaian, dan
(c). Bobot diasumsikan "jarak abstrak." (Dengan demikian, mereka simetris dan mematuhi ketidaksetaraan segitiga.)
Di atas, kami mengubah Kondisi (a) untuk aplikasi alasan. Kita juga bisa mengubah kondisi (a) bahkan jika kita bisa memikirkan ada aplikasi. Anehnya, masalah-masalah baru sering menemukan aplikasi di masa depan, dan mereka mungkin menyarankan isu-isu teoritis baru juga.
Kami mendapatkan banyak varian menarik dengan mengubah Kondisi (b). Sebagai contoh, Bottleneck Traveling Salesman Problem (TSP bottleneck) muncul sebagai varian dari TSP biasa dengan mengubah fungsi tujuan. Hal ini dinyatakan sebagai berikut: Cari sirkuit Hamiltonian dalam grafik berbobot dengan panjang minimal tepi terpanjang. Sekarang kita dapat mencoba untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti kompleksitas komputasi varian ini (misalnya Apakah hambatan TSP NP-lengkap?) Dan untuk menemukan heuristik untuk masalah tersebut. Karena masalah ini dihasilkan atas dasar teoritis, kita juga mungkin mencoba untuk melihat apakah ada aplikasi untuk masalah ini juga. Ini mungkin tampak alami yang satu ingin digunakan sebagai fungsi tujuan memiliki tur yang meminimalkan tepi terpendek, tapi bagaimana tur yang memaksimalkan tepi terpendek? Tidak hanya memiliki peneliti menyelidiki pertanyaan ini, tapi ternyata memiliki aplikasi untuk bagaimana posisi paku keling di sayap pesawat!
Akhirnya, kita mungkin mempertimbangkan mengubah sifat beban atau jarak yang terlibat. Kami sebentar melakukan ini atas ketika mempertimbangkan versi khusus dari TSP dimana jarak yang jarak Euclidean. Hal ini diketahui bahwa masalah ini juga NP-lengkap. Tentu saja, kami juga bisa bervariasi beberapa kondisi di atas sekaligus. Misalnya, kita ingin mencari tur TSP dimana total panjang dari tur adalah sebagai besar mungkin untuk poin yang dijelaskan oleh pasangan terurut bilangan real. Ternyata dalam dua dimensi jika panjang dari tur melibatkan jarak yang mematuhi "taksi" metrik, maka masalah dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, tidak seperti situasi di mana jarak antara pasangan diberikan oleh jarak Euclidean dan satu ingin untuk meminimalkan panjang tur.
TSP juga sub-masalah banyak masalah riset operasi besar. Sebagai contoh, sebuah distrik sekolah dapat menggunakan armada minibus untuk menjemput siswa naik dari sudut-sudut jalan tertentu dan mengantarkan mereka ke dan dari sekolah. Jika bus memiliki kapasitas C, seseorang mungkin ingin mengambil lokasi di mana berbagai siswa dapat mengambil dan membagi mereka ke dalam kelompok-kelompok di mana masing-masing kelompok mengandung sebagian besar siswa C berkumpul di lokasi tersebut. Sekarang seseorang ingin mengatur TSP untuk masing-masing dari mereka minibus. Tujuan dari semua ini adalah untuk merancang suatu sistem yang dapat meminimalkan total biaya dalam mendapatkan siswa ke sekolah, atau mungkin beberapa fungsi optimasi lainnya, seperti meminimalkan waktu rata-rata siswa menghabiskan waktu di bus. Masalah jenis ini menanamkan TSP dalam koleksi yang lebih luas dari masalah yang disebut kendaraan masalah routing. Biasanya masalah routing kendaraan menggabungkan lebih "khusus" fitur dari sekedar biaya mendapatkan antara pick up dan pengiriman poin. Mereka berurusan dengan kapasitas kendaraan yang membawa barang atau penumpang (misalnya van bandara dapat menampung paling banyak 6 orang atau truk kecil dapat membawa paling ton produk). Mereka juga mungkin harus mempertimbangkan "sisi alternatif dari jalan parkir" peraturan, seperti digunakan di banyak kota-kota besar, yang akan mempengaruhi pola untuk menggunakan truk untuk melakukan pengiriman ke toko-toko.
Ini hanya beberapa dari banyak contoh bagaimana matematika yang digunakan untuk mencari solusi yang semakin efisien untuk masalah riset operasi lebih keras dan lebih halus, sehingga meningkatkan semua kehidupan kita.
